Король Людовик

По просьбам тружеников ЖЖ, публикую решение задачи
Полное число придворных положим M.
Пусть первый придворный следит за придворным с номером a. Номер a следит за вторым, второй за человеком с номером b и так далее.
Получается такая последовательность:
1-a-2-b-3-c-4-d-5-e-6-f-7-g...-N - в случае нечётного M
либо же 1-a-2-b-3-c-4-d-5-e-6-f-7-g...-N-n - в случае чётного M
Где N=целая часть от (M+1)/2. В обоих случаях крайний правый элемент смыкается с номером 1 как единственные два несомкнутых.
В силу условия задачи номер a следит за тем, кто следит за номером a+1
Итого b=a+1, c=a+2 и так далее.
Из этого следует, что a=N+1, соответственно n=M, то есть будет последним.
Получается, что с одной стороны последний следит за первым, а с другой стороны следит за тем, кто следит за первым, то есть за самим собой, что возможно только в случае M=1, что противоречит чётности.
Таким образом предположение о чётности M приводит к противоречию, что и требовалось доказать.

Также легко видеть, что при нечётном M условие задачи прекрасно выполняется.

Правильное решение дали andrey_a и jokerr, в чём Вы можете убедиться по комментариям, которые я открыл.